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用错误公式得到数十亿位正确的 π 数字（1999）
Get Billions of Correct Digits of Pi from a Wrong Formula (1999)
进阶 · 约 35 分钟读完前置知识：微积分、高斯积分、傅里叶变换基础
导读
这篇 1999 年的文章讨论一个看似“错误”的 π 公式：它本质上是高斯积分 ∫e^{-x^2}dx=√π 的黎曼和近似，取足够细的步长（如参数 c=10^10）后可得到极多位正确的 π 数字。文章的重点是给出精确的误差估计，解释这种求和为何能收敛得如此快。
HN 关注点：这个公式为何有效：它其实是高斯积分的精细黎曼和，以及能否用傅里叶分析/Theta 函数更优雅地证明并推广。
HN 评论精选
这几条评论里：补充 4
补充用傅里叶变换/Dirac comb 给出可推广的替代证明，收敛速度取决于傅里叶变换尾部衰减。
一个更偏信号处理（DSP）的替代证明梗概：利用论文中的近似等于 e^{-x^2} 与 Dirac comb 的内积这一事实。高斯函数和 Dirac comb 在傅里叶变换下都保持不变；对二者做傅里叶变换，注意傅里叶变换是酉变换（本质上是旋转），因此不影响内积；再展开变换后的内积。本质上与原文证明相同，只是不用 Theta 函数语言。我认为这甚至更好，因为它可推广：只要函数傅里叶变换可计算，该技巧适用于所有黎曼和；傅里叶变换的尾巴越薄，黎曼和收敛越快。
man-and-laptop查看英文原文
Sketch of an alternative proof, more DSP: Use the fact that the approximation in the paper is equal to the inner product of e^{-x^2} with a Dirac comb [1]. The amazing thing about the Gaussian function and the Dirac comb is that they're both preserved by the Fourier transform. So apply the Fourier transform to both of them, observe that the Fourier transform is unitary (essentially a rotation), and therefore doesn't affect the inner product; then expand the inner product of the Fourier transforms. Essentially, it's the same proof, but not in the language of Theta functions. In fact, I'd argue it's a better proof, because it generalises. Generalisation: This technique applies to all Riemann sums, as long as you can compute the Fourier transform of the function. The thinner the tails of the function's Fourier transform, the faster its Riemann sums will converge. [1] - https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_comb
补充参数 c 越大越精确，10^10 只是审美选择。
公式含参数 c=10^10，初看难以置信，因为人们容易以为 10^10 必须取这个特殊值公式才成立；诀窍是更大的 c（如 10^19）精度更高。显然 c=10^10 是为了公式的美观而选的。
xamuel查看英文原文
The formula involves a parameter c=10^10 and initially seems unbelievable because one's initial inclination is to assume that the 10^10 is particularly important, like it has to be that particular value in order for the formula to work. The "trick" is that higher values of c, like c=10^19, give even more accuracy. Obviously c=10^10 was chosen to optimize the formula's aesthetic beauty.
补充公式本质是高斯积分近似 √π，核心疑问是为何近似如此好。
那个“错误公式”用积分近似 π：更准确地说，exp(-x^2) 在实轴上的积分等于 sqrt(pi)。所以问题在某种意义上就是：为什么这个近似这么好？（我的傅里叶分析生疏了，回答不了。）
madcaptenor查看英文原文
That "wrong formula" approximates pi by an integral: more precisely, exp(-x^2) integrated over the real line integrates to sqrt(pi). So the question is, in some sense, why is that such a good approximation? (My Fourier analysis is rusty, so I can't answer that question.)
补充公式是高斯积分的精细黎曼和，误差估计才是巧妙之处。
这个公式似乎只是计算高斯积分 ∫_-∞^∞ e^{-x^2} dx = sqrt(pi) 的一个足够精细的黎曼和。这样一来就没那么令人惊讶了，不过精确的误差估计仍然很巧妙，值得细读。
xyzzyz查看英文原文
Seems like the formula is simply a fine enough Riemann sum for calculating Gaussian integral int_-inf^inf e^(-x^2) dx = sqrt(pi). It makes it much less surprising, though the exact estimation of error is still quite ingenious and worth following.
历次讨论
- 2018Hacker News 讨论帖148 分 · 54 评
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